Affine Ebenen: eine konstruktive Algebraisierung by Artur Bergmann, Erich Baumgartner PDF

By Artur Bergmann, Erich Baumgartner

ISBN-10: 3486721372

ISBN-13: 9783486721379

Zu jeder affinen Inzidenzebene, in welcher der große Satz von Desargues gilt (kurz: (D)-Ebene), wird mit Hilfe von Translationen und Streckungen ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Schiefkörper hergeleitet. Anders als in der bisherigen Literatur werden diese Abbildungen nicht axiomatisch, sondern konstruktiv eingeführt. Dieser Weg ist anschaulich und verdeutlicht den geometrischen Hintergrund der algebraischen Strukturen. Außerdem sichert er von Anfang an die Existenz hinreichend vieler solcher Abbildungen. Die Autoren weisen u.a. nach: • Die Isomorphieklassen von (D)-Ebenen und die Isomorphieklassen algebraisch affiner Ebenen entsprechen sich bijektiv. • Bei der Hilbertschen Streckenrechnung führen unterschiedliche Konstruktionsdaten zu isomorphen Schiefkörpern. • Translationen, Streckungen und axiale Kollineationen sind drei affine Spezialfälle derselben projektiven state of affairs. Inhalt und gewählte Vorgehensweise machen die mathematischen Grundlagen der analytischen Geometrie, wie sie bereits in der Oberstufe des Gymnasiums unterrichtet wird, klar. Aufgrund der ausführlichen und durch viele Abbildungen veranschaulichten Beweise ist dieses Buch auch bestens zum Selbststudium geeignet.

Show description

Read Online or Download Affine Ebenen: eine konstruktive Algebraisierung desarguesscher Ebenen PDF

Best mathematics books

Ekbert Hering, Rolf Martin, Martin Stohrer's Taschenbuch der Mathematik und Physik, 5. Auflage PDF

Das Nachschlagewerk f? r Studium und Beruf stellt wichtige Zusammenh? nge und Formeln der Mathematik, Physik, Chemie sowie die Grundlagen der Technik dar. Ebenfalls ber? cksichtigt werden die Gebiete der Optoelektronik, Nachrichtentechnik und Informatik. H? ufig gebrauchte Stoffwerte, Konstanten und Umrechnungen von Einheiten sowie die Eigenschaften der chemischen Elemente sind f?

Read e-book online Micromechanics of Fracture in Generalized Spaces PDF

Through the designated research of the trendy improvement of the mechanics of deformable media are available the deep inner contradiction. From the single hand it truly is declared that the deformation and fracture are the hierarchical strategies that are associated and unite a number of structural and scale degrees. From the opposite hand the sequential research of the hierarchy of the deformation and destruction isn't really conducted.

Extra resources for Affine Ebenen: eine konstruktive Algebraisierung desarguesscher Ebenen

Sample text

Beweis : Nat¨ urlich kann man auch beim Beweis dieses Satzes auf die Definition von Parallelogrammen zur¨ uckgreifen. Dann sind zu Satz 2 analoge F¨alle zu unterscheiden und es ist jeweils wie dort zu schließen. Zum Beispiel ergibt sich im Fall dreier eigentlicher Parallelogramme, falls P, Q, R nicht kollinear sind, die Figur 14 und man schließt mit dem kleinen Satz von Desargues. Der Fall P, Q, R kollinear“ ist trivial. ” U✟ s✟ ✁ ✟ ✟ ✟ ✁ ✟ ✁ ✟ ✟ ✟ ✁ ✟ ✟ ✟ S✟ Ts ✁ s✟ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✟ s ✟ ✁ ✁ ✟ ✟ ✁R ✁ ✁ ✟ ✟ ✁ ✟✁ ✟ ✟ ✁ ✁ ✟ ✟ ✁ ✟ ✁ ✟ ✁s✟ ✁s P Q Figur 14 Ein Vergleich der Figuren 13a und 14 zeigt jedoch, dass die Aussagen der S¨atze 2 und 3 zueinander analog sind.

4 ist g(B, τP Q (B)) g(P, Q). Somit ist h g(B, τP Q (B)) und, da B auf beiden Geraden liegt, sogar h = g(B, τP Q (B)) . Also ist h eine Fixgerade unter τP Q . Damit ist der Satz f¨ ur τ = idP bewiesen. Die Behauptung f¨ ur τ = idP ist trivial. ✷ Definition : τ = τP Q sei eine Parallelverschiebung. a) F¨ ur τP Q = idP heißt die Parallelenschar Πg(P,Q) aller Spuren von τP Q die Richtung von τP Q . b) F¨ ur τ = idP werden alle Parallelenscharen als Richtungen von τ angesehen. 11 Die Untergruppen Tg von T Mit Hilfe des eben definierten Begriffs Richtung‘ k¨onnen wir zu jeder Geraden g eine ’ Teilmenge Tg von T auszeichnen : Definition : F¨ ur jede Gerade g setzt man Tg := { τ | τ ∈ T und Πg ⊆ Richtung(τ ) } = {idP } ∪ { τ | τ ∈ T und Richtung(τ ) = Πg } .

2 ✷ Die umgekehrte Richtung folgt analog. V W ❆✁✆❝ ❆✁✆❝ ✁❆ ✁❆ ✁✆ ❆ ✁✆ ❆ ✁ ✆ ✁ ✆ ❆ ❆ ✁ ✁ ❆ ❆ ✆ ✆ ✁ ✁ ❆r ❆r r✁ ✆ r ❆ ❆ ✁ ✆ ✑ ✑ ❆ ❆ ✑ R Q ✑ S P ❆ ✆ ✑ ❆ ✆ ✑ ✑ ✑ ❆✑ ❆✑ ❆✆❝ ❆✆❝ V W Figur 11 a V ❆✁❝ ✁❆ V ❝ ✁ ❆ ✁ ❆ ✁ ❆ ✁ ❆ ✁r ❆r P R W W ❝ ❆✁❝ ✁❆ ✁ ❆ ✁ ❆ ✁ ❆ ✁ ❆ ✁r ❆r Q S Figur 11 b Nach obigem Hilfssatz kann man in (d)-Ebenen zum Nachweis, ob (P, Q, R, S) ein uneigentliches Parallelogramm ist, irgendein Paar (V, W ) von Punkten w¨ahlen, so dass (P, Q, V, W ) ein eigentliches Parallelogramm ist. Ist dann (R, S, V, W ) ein eigentliches Parallelogramm, so ist (P, Q, R, S) ein uneigentliches Parallelogramm, sonst nicht.

Download PDF sample

Affine Ebenen: eine konstruktive Algebraisierung desarguesscher Ebenen by Artur Bergmann, Erich Baumgartner


by Daniel
4.5

Rated 4.19 of 5 – based on 24 votes